HiStOrIa DeL CaLcUlO....

Gabriela Pacaja Salguero Lun Oct 20, 2008 2:52 am

1) Quienes fueron los que iniciaron las primeras nociones en el estudio del cálculo?(ideas de infinitos).

Hacia el año 1800, los matemáticos empezaron a interesarse por la imprecisión de los conceptos y demostraciones de vastas ramas del análisis.
Varios matemáticos se resolvieron a poner orden en todo este caos. Las cabezas de lo que frecuentemente es llamado el movimiento crítico decidieron reconstruir el análisis solamente sobre la base de los conceptos aritméticos. Los principios del movimiento coinciden con la creación de la geometría no euclídea. Un grupo totalmente diferente, excepto Gauss, se involucró en esta última actividad y, por lo tanto, es difícil rastrear alguna relación directa entre ella y la decisión de fundar el análisis en la aritmética. Tal vez se llegó a esa decisión porque la esperanza de fundar el análisis sobre la geometría, lo cual muchos matemáticos del siglo XVII afirmaron con frecuencia que sí se podía hacer, fue desechado por la complejidad creciente de los desarrollos del análisis durante el siglo XVIII. Sin embargo, Gauss ya había expresado sus dudas en cuanto a la verdad de la geometría euclídea en 1799 y en 1817 decidió que la verdad residía únicamente en la aritmética. Más aún, incluso durante la obra inicial de Gauss y otros en la geometría no euclídea, ya se habían notado imperfecciones en el desarrollo de Euclides. Por tanto, es muy probable que ambos factores causaran desconfianza en la geometría y apresuraran la decisión de fundar el análisis sobre conceptos aritméticos. Esto fue ciertamente lo que las cabezas del movimiento crítico se comprometieron a llevar a cabo.
El análisis riguroso empieza con la obra de Bolzano, Cauchy, Abel y Dirichlet, y Weierstrass lo fomentó.
Fueron Cauchy y Bolzano quienes iniciaron esta tarea. Para ello, habían comenzado por definir con rigor el concepto de límite, precisamente como soporte para definir la derivada y la integral.

3) En que siglo se empezó a usar los términos derivada, integral? Y quienes fueron lo desarrollaron?
La derivada

Bolzano fue el primero, en 1817, en definir la derivada de una función f (x) como la cantidad f '(x) hacia la que se aproxima el cociente cuando se aproxima a 0 con valores positivos y negativos. Bolzano insistió en que f'(x) no era un cociente de ceros o una razón de cantidades evanescentes sino un número al cual tendía la razón anterior.
Cauchy da una definición igual en la tercera lección de su libro Résumé des Lecons donnéss a l'Écolle Polytechnique sur le Calcul Infinitésimal. Entonces unificó esta noción con la de diferenciales de Leibniz definiendo dx como cualquier cantidad finita y dy como f'(x)dx. En otras palabras, se introducen las cantidades dx y dy cuya razón, por definición, es f'(x). Las diferenciales tienen significado en términos de la derivada y son meramente una noción auxiliar de la cual se podría prescindir lógicamente, pero son convenientes como una manera de pensar o escribir. Cauchy también señaló lo que significaban las expresiones diferenciales utilizadas durante el siglo XVIII en términos de derivadas.
A continuación clarificó la relación entre el cociente de incrementos y la derivada f'(x) a través del teorema del valor medio (ya conocido por Lagrange=. La demostración de Cauchy del teorema del valor medio usaba la continuidad de f'(x) en el intervalo dado por incremento de x.
En esta misma lección 3 dedicada a la derivada de funciones de una variable real, Cauchy calculó las derivadas de las funciones elementales, usando, por ejemplo, que tiende a 1 cuando x tiende a 0, para calcular la derivada del seno y del coseno, o que tiende a e cuando x tiende a 0, para calcular la derivada de exponenciales y logaritmos. De esta forma, hacia el primer cuarto del siglo XIX, el concepto de derivada, que inició su andadura en el siglo XVII, alcanza una fundamentación lógica adecuada, basada en el concepto de límite. Sin embargo, todavía quedaba algún camino por recorrer hasta que los nuevos conceptos de función, función continua y función derivable fueran plenamente entendidos.
Al parecer, Riemann no mostró estudio alguno sobre la derivabilidad de esta función continua. Weierstrass trató, sin éxito, de ver dónde era, y donde no, derivable. De hecho, hasta 1918 no aparecieron los primeros resultados sobre la derivabilidad de esta función de Riemann. Se deben, nada más y nada menos, que a Hardy, quien, entre otras cosas, probó que la función no era derivable en los números de la forma con irracional. Posteriormente Joseph Gerver, en la década de los setenta, completaría el estudio de la derivabilidad de la función de Riemann, probando que la función era derivable sólo en los puntos donde x es un número racional con numerador y denominador impar; para completar este sorprendente resultado, probó que en todos esos puntos la derivada vale
En 1872, Weierstrass presentó la siguiente función para mostrar que definitivamente no había relación entre continuidad y derivabilidad: Le llevó más tiempo al concepto de integral su definición tal y como hoy la enseñamos. Como ya se ha dicho, el cálculo integral se definía como la operación inversa a la diferenciación; sin embargo, se empezó a ver la necesidad de definir la integral de una función directamente, retornando la vieja idea del área. Una de las motivaciones para este cambio de visión la produjo el descubrimiento de Fourier de la fórmula para expresar los coeficientes de la serie trigonométrica asociada a una función, en términos de dicha función. El hecho de que estos coeficientes vengan dados por las integrales
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parecía sugerir la conveniencia de asociar directamente un número a la integral , en vez de buscar una función G, tal que G' = g, para después definir
Los primeros trabajos en este sentido son debidos a Cauchy. La idea era usar el concepto de límite para definir la integral como el límite de una suma de rectángulos, y después probar la relación con la derivada, esto es, probar el teorema fundamental del cálculo.
Cauchy desarrolló estas ideas sólo para funciones continuas en la lección 21 de su Résumé des leçons. Después, en la lección 26, Cauchy demuestra el teorema fundamental del cálculo.
Ahora bien, como vimos en la sección dedicada al concepto de función, éste se fue ampliando cada vez más, hasta llegar a las definiciones de Lovachevski y Dirichlet. Puesto que en principio a todas las funciones, fueran continuas o no, se les podía asociar una serie de Fourier, y para definir los coeficientes que aparecen en este desarrollo había que integrar las funciones, pronto se vio que había que extender la definición de Cauchy para que tuvieran cabida funciones no necesariamente continuas. El propio Dirichlet se encargó de mostrar que el proceso no iba a ser fácil, presentando como ejemplo su famosa función, que vale 1 en los racionales y 0 en los irracionales, y viendo que no es posible extender la definición de integral de Cauchy a esta función. Puesto que no todas las funciones iban a ser íntegrables, pareja a la necesidad de extender la integral, surge la necesidad de establecer criterios para saber qué funciones son susceptibles de admitir una integral extendiendo la definición de Cauchy.
Un paso decisivo en este camino lo dio Riemann, que amplió la definición de integral para funciones no necesariamente continuas, estableciendo un criterio de integrabilidad. Es lo que hoy conocemos como la integral de Riemann. Después de varios trabajos sobre el tema, en 1854 Riemann procede del siguiente modo: dada una función acotada en un intervalo [a,b], y una partición sobre éste, , considera la variación de la función en cada subintervalo, esto es, la diferencia entre el supremo y el ínfimo de los valores que toma la función en cada subintervalo. Si escribimos y , entonces esta variación vale . Riemann prueba que una condición necesaria y suficiente de integrabilidad viene dada por

El siglo XIX se caracterizó fundamentalmente por la profundización en los conceptos y precisión de los mismos.
Cabe destacar fundamentalmente a Cauchy (1789-1857) quién en sus publicaciones "Curso de análisis de la Escuela Politécnica*, "Resumen de las lecciones sobre el cálculo infinitesimal" y "Lecciones sobre el cálculo diferencial" dio al cálculo infinitesimal elemental la forma que tiene hoy.
Cauchy abandonó el planteamiento de Lagrange basado en el desarrollo en serie de potencias, para tomar como fundamental el concepto de límite de carácter más aritmético y preciso: "Cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de él en tan poco como queramos, este último valor se llama el límite de todos los demás".
En el cálculo de Cauchy los conceptos de función y de límite son los conceptos fundamentales. Dio una definición de función continua análoga a la utilizada en la actualidad.
Durante el siglo XVIII la integración había sido considerada como la operación inversa de la diferenciación, sin embargo Cauchy, con su definición de derivada, observa que hay funciones que no tienen derivada en determinados puntos o, incluso, que son discontinuas y sin embargo determinan un área bien definida; por lo que Cauchy decidió recuperar el sentido geométrico original de la integral como área y definir la integral definida como límite de sumas inferiores y superiores, de forma muy similar a como se define actualmente.
Al definir la integral de una manera completamente independiente de la derivada, Cauchy necesitaba demostrar la relación existente entre ambos conceptos cosa que consiguió utilizando el teorema del valor medio: Si f(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b) Þ $c Î (a, b) t.q.

Recordemos que la generalización de este teorema, recibe en la actualidad el nombre de teorema de Cauchy.
De esta recuperación, por parte de Cauchy, del sentido geométrico de la integral es de donde han partido las numerosas generalizaciones modernas de la idea de integral.
Ideas muy similares a la elaboradas por Cauchy eran desarrolladas casi simultáneamente por Bolzano (1781-1848). Éste dio una demostración puramente aritmética o analítica del teorema del valor medio, para funciones continuas, apoyándose en un planteamiento no geométrico de la idea de continuidad.
Cabe destacar, asimismo, a Gauss (1777-1855) que en 1827 inició una nueva, rama de la geometría que hoy conocemos como geometría diferencial.
En su obra "Disquisitiones circa superficies curvas", Gauss deja de interesarse de la totalidad de una curva o función dada, como hace la geometría clásica, para fijarse en las propiedades de esa función en las proximidades de uno de sus puntos, es decir se dedica al estudio local de curvas y superficies.
Gauss demostró varios teoremas sobre las propiedades de determinadas familias de curvas sobre la superficie, tales como las geodésicas, dejando de esta manera el camino abierto para el desarrollo científico, sobre todo en física, del siglo XX.
El avance del cálculo diferencial en este período puede basarse en la clarificación del concepto de función y en la creciente tendencia a la aritmetización del mismo. Podemos destacar en este sentido a Fourier (1768-1830), que demostró que cualquier función se puede representar por una serie.
Dirichlet (1805-1859) dio una definición de función muy similar a la moderna de correspondencia mediante una ley arbitraria entre dos conjuntos de números reales. Para dar idea de la arbitrariedad de tal ley construyó la función, conocida como función de Dirichlet, que asocia a todos los números racionales un cierto valor c, y a los números irracionales otro valor distinto d. Esta función es discontinua en todos sus puntos.
Dirichlet dio también la primera demostración rigurosa de la convergencia de una serie de Fourier para una función que cumpla ciertas restricciones, conocidas como condiciones de Dirichlet.
El sucesor de Dirichlet en la universidad de Gotinga fue Riemann (1826-1866) al que se deben cantidad de teoremas que relacionan la teoría de números con el análisis clásico. Su nombre viene asociado al de la integral definida por el empeño que puso en dar una definición rigurosa de la misma.
Conceptos como los de superficies de Riemann, curvatura de una variedad o espacios de Riemann han sido cruciales para la formulación de la teoría general de la relatividad. 4) Define cálculo infinitesimal.
Disciplina matemática que trata con cantidades infinitamente pequeñas. Está constituida por el cálculo diferencial y el cálculo integral. Isaac Newton y Godofredo Guillermo Leibniz fueron sus fundadores.

Del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes calculó en el siglo III a.C.. Aunque hubo que esperar mucho tiempo hasta el siglo XVII -¡2000 años! para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaba para que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado - en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió escencialmente en el siglo XVII. Comenzaremos por tanto desde el principio. queen