[b]HISTORIA DEL CALCULO por pamela vargas............................[/b]

lo mas iteresante para mi fue cuando cada uno de los precursores iba descubriendo cada cosita por mas pequeña que sea como por A segunda metade do século XVII foi unha época de grandes novidades en Europa. O cálculo infinitesimal proporcionou unha nova oportunidade á física matemática de resolver cuestións que viñan de lonxe. Varios matemáticos contribuíron a estes grandes adiantos, especialmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory probou un caso especial do Teorema Fundamental do Cálculo en 1668.

Leibniz e Newton organizaron nun todo coherente coñecementos precedentes, e son recoñecidos normalmente coma os inventores independentes e case que simultáneos do cálculo infinitesimal. Newton foi o primeiro en aplicar o cálculo infinitesimal á física xeral, namentres que Leibniz desenvolveu a meirande parte da notación que se emprega hoxe; a miúdo gastou días en determinar símbolos axeitados para cada concepto. A idea básica que tiveran tanto Newton coma Leibniz foi a do Teorema Fundamental do Cálculo.

Cando Newton e Leibniz publicaron os seus resultados por vez primeira, houbo unha grande polémica acerca de qué matemático (e por tanto qué país) merecía o recoñecemento. Newton obtivo os seus resultados primeiro, mais Leibniz publicounos antes, o que levou a Newton a acusar a Leibniz de roubarlle ideas dos seus apontamentos non publicados. Esta controversia dividiu aos matemáticos de fala inglesa dos matemáticos do continente por moitos anos, en prexuízo dos matemáticos ingleses. A notación de Newton era claramente menos flexible cá de Leibniz, o que provocou certo atraso no desenvolvemento da análise matemática (as mátemáticas baseadas no cálculo infinitesimal) no Reino Unido. Os británicos conservaron a notación de Leibniz ata que a comezos do século XIX a chamada Analytical Society introduciu con éxito no Reino Unido o cálculo infinitesimal proposto por Leibniz.


Tras Leibniz e Newton, moitos matemáticos contribuiron ao continuo desenvolvemento do cálculo infinitesimal. No século XIX, matemáticos coma Cauchy, Riemann e Weierstrass dotaron ao cálculo duns fundamentos máis rigorosos. Foi tamén durante este período que as ideas do cálculo foron xeralizadas ao espazo euclídeo e ao plano complexo. Lebesgue tamén xeralizou a noción de integral.

luego responder a las siguientes interrogantes:

1) Quienes fueron los que iniciaron las primeras nociones en el estudio del cálculo?(ideas de infinitos).

Hacia el año 1800, los matemáticos empezaron a interesarse por la imprecisión de los conceptos y demostraciones de vastas ramas del análisis.
Varios matemáticos se resolvieron a poner orden en todo este caos. Las cabezas de lo que frecuentemente es llamado el movimiento crítico decidieron reconstruir el análisis solamente sobre la base de los conceptos aritméticos. Los principios del movimiento coinciden con la creación de la geometría no euclídea. Un grupo totalmente diferente, excepto Gauss, se involucró en esta última actividad y, por lo tanto, es difícil rastrear alguna relación directa entre ella y la decisión de fundar el análisis en la aritmética. Tal vez se llegó a esa decisión porque la esperanza de fundar el análisis sobre la geometría, lo cual muchos matemáticos del siglo XVII afirmaron con frecuencia que sí se podía hacer, fue desechado por la complejidad creciente de los desarrollos del análisis durante el siglo XVIII. Sin embargo, Gauss ya había expresado sus dudas en cuanto a la verdad de la geometría euclídea en 1799 y en 1817 decidió que la verdad residía únicamente en la aritmética. Más aún, incluso durante la obra inicial de Gauss y otros en la geometría no euclídea, ya se habían notado imperfecciones en el desarrollo de Euclides. Por tanto, es muy probable que ambos factores causaran desconfianza en la geometría y apresuraran la decisión de fundar el análisis sobre conceptos aritméticos. Esto fue ciertamente lo que las cabezas del movimiento crítico se comprometieron a llevar a cabo.
El análisis riguroso empieza con la obra de Bolzano, Cauchy, Abel y Dirichlet, y Weierstrass lo fomentó.
Fueron Cauchy y Bolzano quienes iniciaron esta tarea. Para ello, habían comenzado por definir con rigor el concepto de límite, precisamente como soporte para definir la derivada y la integral.

2) Quien fue el precursor del cálculo integral?

fue arquimides el precursor del calculo integral
El cálculo infinitesimal fue propuesto inicialmente por Arquímedes. Luego fue utilizado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, en los albores del surgimiento del Análisis matemático moderno, pero posteriormente fue desacreditado por George Berkeley y finalmente olvidado. Durante el siglo XIX Karl Weierstrass y Cauchy comenzaron a utilizar la definición formal de límite matemático, por lo que el cálculo infinitesimal ya no era necesario. Sin embargo durante el siglo XX los infinitesimales fueron rescatados como una herramienta que ayuda a calcular límites de forma simple. Es bastante popular el uso de infinitésimos en la bibliografía rusa.

Otra manera de trabajar con los infinitésimos es considerarlos como números, y no como límites, es decir trabajar en un conjunto que contenga más números que los usuales. Se les llaman números hiperreales, y son una creación del análisis no estándar.


3) En que siglo se empezó a usar los términos derivada, integral? Y quienes fueron lo desarrollaron?

Bolzano fue el primero, en 1817, en definir la derivada de una función f (x) como la cantidad f '(x) hacia la que se aproxima el cociente cuando se aproxima a 0 con valores positivos y negativos. Bolzano insistió en que f'(x) no era un cociente de ceros o una razón de cantidades evanescentes sino un número al cual tendía la razón anterior.
Cauchy da una definición igual en la tercera lección de su libro Résumé des Lecons donnéss a l'Écolle Polytechnique sur le Calcul Infinitésimal. Entonces unificó esta noción con la de diferenciales de Leibniz definiendo dx como cualquier cantidad finita y dy como f'(x)dx. En otras palabras, se introducen las cantidades dx y dy cuya razón, por definición, es f'(x). Las diferenciales tienen significado en términos de la derivada y son meramente una noción auxiliar de la cual se podría prescindir lógicamente, pero son convenientes como una manera de pensar o escribir. Cauchy también señaló lo que significaban las expresiones diferenciales utilizadas durante el siglo XVIII en términos de derivadas.
A continuación clarificó la relación entre el cociente de incrementos y la derivada f'(x) a través del teorema del valor medio (ya conocido por Lagrange=. La demostración de Cauchy del teorema del valor medio usaba la continuidad de f'(x) en el intervalo dado por incremento de x.
En esta misma lección 3 dedicada a la derivada de funciones de una variable real, Cauchy calculó las derivadas de las funciones elementales, usando, por ejemplo, que tiende a 1 cuando x tiende a 0, para calcular la derivada del seno y del coseno, o que tiende a e cuando x tiende a 0, para calcular la derivada de exponenciales y logaritmos. De esta forma, hacia el primer cuarto del siglo XIX, el concepto de derivada, que inició su andadura en el siglo XVII, alcanza una fundamentación lógica adecuada, basada en el concepto de límite. Sin embargo, todavía quedaba algún camino por recorrer hasta que los nuevos conceptos de función, función continua y función derivable fueran plenamente entendidos.
Al parecer, Riemann no mostró estudio alguno sobre la derivabilidad de esta función continua. Weierstrass trató, sin éxito, de ver dónde era, y donde no, derivable. De hecho, hasta 1918 no aparecieron los primeros resultados sobre la derivabilidad de esta función de Riemann. Se deben, nada más y nada menos, que a Hardy, quien, entre otras cosas, probó que la función no era derivable en los números de la forma con irracional. Posteriormente Joseph Gerver, en la década de los setenta, completaría el estudio de la derivabilidad de la función de Riemann, probando que la función era derivable sólo en los puntos donde x es un número racional con numerador y denominador impar; para completar este sorprendente resultado, probó que en todos esos puntos la derivada vale
parecía sugerir la conveniencia de asociar directamente un número a la integral , en vez de buscar una función G, tal que G' = g, para después definir
Los primeros trabajos en este sentido son debidos a Cauchy. La idea era usar el concepto de límite para definir la integral como el límite de una suma de rectángulos, y después probar la relación con la derivada, esto es, probar el teorema fundamental del cálculo.
Cauchy desarrolló estas ideas sólo para funciones continuas en la lección 21 de su Résumé des leçons. Después, en la lección 26, Cauchy demuestra el teorema fundamental del cálculo.
Ahora bien, como vimos en la sección dedicada al concepto de función, éste se fue ampliando cada vez más, hasta llegar a las definiciones de Lovachevski y Dirichlet. Puesto que en principio a todas las funciones, fueran continuas o no, se les podía asociar una serie de Fourier, y para definir los coeficientes que aparecen en este desarrollo había que integrar las funciones, pronto se vio que había que extender la definición de Cauchy para que tuvieran cabida funciones no necesariamente continuas. El propio Dirichlet se encargó de mostrar que el proceso no iba a ser fácil, presentando como ejemplo su famosa función, que vale 1 en los racionales y 0 en los irracionales, y viendo que no es posible extender la definición de integral de Cauchy a esta función. Puesto que no todas las funciones iban a ser íntegrables, pareja a la necesidad de extender la integral, surge la necesidad de establecer criterios para saber qué funciones son susceptibles de admitir una integral extendiendo la definición de Cauchy.
Un paso decisivo en este camino lo dio Riemann, que amplió la definición de integral para funciones no necesariamente continuas, estableciendo un criterio de integrabilidad. Es lo que hoy conocemos como la integral de Riemann. Después de varios trabajos sobre el tema, en 1854 Riemann procede del siguiente modo: dada una función acotada en un intervalo [a,b], y una partición sobre éste, , considera la variación de la función en cada subintervalo, esto es, la diferencia entre el supremo y el ínfimo de los valores que toma la función en cada subintervalo. Si escribimos y , entonces esta variación vale . Riemann prueba que una condición necesaria y suficiente de integrabilidad viene dada por

El siglo XIX se caracterizó fundamentalmente por la profundización en los conceptos y precisión de los mismos.
Cabe destacar fundamentalmente a Cauchy (1789-1857) quién en sus publicaciones "Curso de análisis de la Escuela Politécnica*, "Resumen de las lecciones sobre el cálculo infinitesimal" y "Lecciones sobre el cálculo diferencial" dio al cálculo infinitesimal elemental la forma que tiene hoy.
Cauchy abandonó el planteamiento de Lagrange basado en el desarrollo en serie de potencias, para tomar como fundamental el concepto de límite de carácter más aritmético y preciso: "Cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de él en tan poco como queramos, este último valor se llama el límite de todos los demás".
En el cálculo de Cauchy los conceptos de función y de límite son los conceptos fundamentales. Dio una definición de función continua análoga a la utilizada en la actualidad.
Durante el siglo XVIII la integración había sido considerada como la operación inversa de la diferenciación, sin embargo Cauchy, con su definición de derivada, observa que hay funciones que no tienen derivada en determinados puntos o, incluso, que son discontinuas y sin embargo determinan un área bien definida; por lo que Cauchy decidió recuperar el sentido geométrico original de la integral como área y definir la integral definida como límite de sumas inferiores y superiores, de forma muy similar a como se define actualmente.
Al definir la integral de una manera completamente independiente de la derivada, Cauchy necesitaba demostrar la relación existente entre ambos conceptos cosa que consiguió utilizando el teorema del valor medio: Si f(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b) Þ $c Î (a, b) t.q.

Dirichlet dio también la primera demostración rigurosa de la convergencia de una serie de Fourier para una función que cumpla ciertas restricciones, conocidas como condiciones de Dirichlet.
El sucesor de Dirichlet en la universidad de Gotinga fue Riemann (1826-1866) al que se deben cantidad de teoremas que relacionan la teoría de números con el análisis clásico. Su nombre viene asociado al de la integral definida por el empeño que puso en dar una definición rigurosa de la misma.
Conceptos como los de superficies de Riemann, curvatura de una variedad o espacios de Riemann han sido cruciales para la formulación de la teoría general de la relatividad. 4) Define cálculo infinitesimal.
Disciplina matemática que trata con cantidades infinitamente pequeñas. Está constituida por el cálculo diferencial y el cálculo integral. Isaac Newton y Godofredo Guillermo Leibniz fueron sus fundadores.

Del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes calculó en el siglo III a.C.. Aunque hubo que esperar mucho tiempo hasta el siglo XVII -¡2000 años! para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaba para que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado - en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió escencialmente en este siglo.

4) Define cálculo infinitesimal.

Un infinitesimal o infinitésimo se puede definir como una cantidad infinitamente pequeña, se usa en el cálculo infinitesimal, se definen estrictamente como limites y se suelen considerar como números en la práctica.

Un infinitesimal o infinitésimo es una cantidad infinitamente pequeña. Se puede definir matemáticamente como:

se dice que f es un infinitésimo en x=a

Algunas funciones son infinitésimos en determinados puntos, por ejemplo:

f(x) = x-1 es un infinitésimo en x=1
g(x) = sen(x) es un infinitésimo en 0 + kπ con
Por lo tanto, toda función cuando tiende a 0 en un punto se denomina infinitésima.

Los antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra.
El concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real[ adquiere una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia física que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la especulación tradicional filosófica, por el rigor y seguridad que ofrece el cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física como Ciencia de la Naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.

A partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer modelos sobre la realidad física, cuya comprobación experimental[ supone la confirmación de la teoría como sistema. Es el momento de la consolidación del llamado método científico cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teoría de la Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.
En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes, Pascay, finalmente, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.